proposisi dan logika matematika

PROPOSISI DAN LOGIKA MATEMATIKA

1.      Pernyataan (Proposisi)

Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi(preposition).

Sebuah proposisi(proposition) atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif yang memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu:”Benar”(B) atau ”Salah”(S).

Kalimat tanya atau kalimat perintah tidak dianggap sebagai pernyataan.

Berikut ini adalah beberapa contoh proposisi :

a.  1 + 2 = 3

b.  Presiden RI tahun 2005 adalah SBY

c.   6 adalah bilangan prima

d. Warna bendera RI adalah biru dan merah

Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya. Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah.

Kalimat-kalimat berikut bukan pernyataan :

1.   x + 2 = 10.

2.  Minumlah sirup ini dua kali sehari.

3.  Alangkah cantiknya gadis itu!

2.     Mengkombinasikan Proposisi

Kita dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and),atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator unerkarena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.

Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik. Metode pengkombinasian proposisi dibahas oleh matematikawan Inggris yang bernama George Boole pada tahun 1854 di dalam bukunya yang terkenal, The Laws of  Thought. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran.

Misalkan p dan q adalah proposisi.

Negasi

Untuk sembarang proposisi, p, yang memiliki nilai kebenaran, B/S, maka negasinya ditulis sebagai, ~p, memiliki nilai kebenaran lawannya, S/B.

Berikut ini adalah contoh negasi :

p : Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera Selatan.

~p : Tidak benar Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera    Selatan.

Atau

Palembang bukan ibukota propinsi Sumatera Selatan.

Di sini ~p salah karena p benar.

Tabel Kebenaran Dari Negasi :

Konjungsi

Konjungsi p dan q dinyatakan dengan, pΛq, adalah sebuah proposisi yang bernilai benar jika proposisi p dan q keduanya bernilai benar.

Berikut ini adalah contoh konjungsi :

p : Hari ini hari Sabtu.

q : Matahari bersinar cerah.

pΛq : Hari ini hari Sabtu dan matahari berinar cerah.

Tabel Kebenaran Dari Konjungsi :

Disjungsi

Disjungsi p dan q dinyatakan dengan, p vq, adalah proposisi yang bernilai salah jika proposisi p dan q keduanya bernilai salah.

Berikut ini adalah contoh disjungsi :

p : Hari ini hari Sabtu.

q : Matahari bersinar cerah.

p vq : Hari ini hari Sabtu atau matahari berinar cerah.

Tabel Kebenaran Dari Disjungsi :

1.      Hukum-hukum Logika Proposisi

Dalam logika proposisi terdapat beberapa hukum atau sifat operasinya,yakni:

1)       Hukum Identitas

       p  v   F  ↔ p

p  Λ   T  ↔ p

2)     Hukum null/Dominasi

p  Λ   F  ↔  F

p  v  T  ↔  T

3)     Hukum Negasi

p  v  ~p  ↔ T

p  Λ   ~p  ↔ F

4)     Hukum Idempoten

p  v  p  ↔ p

p  Λ   p   ↔ p

5)     Hukum involusi (negasi ganda)

(i)  ~ (~p)  ↔ p

6)     Hukum Penyerapan

p  v  (p Λ q) ↔ p

p  Λ  (p v q) ↔ p

7)      Hukum Komutatif

p  v  q  ↔ q  v  p

p  Λ  q   ↔ q Λ  p

8)      Hukum Asosiatif

p v (q v r) ↔ (p v q) v r

p Λ (q Λ r ) ↔ (p Λ q)  Λ  r

9)     Hukum Distributif

p v (q Λ r) ↔ (p v q) Λ (p v r)

p Λ (q v r ) ↔ (p Λ q)  v  (p Λ r)

10)  Hukum De Morgan

~(p Λ q) ↔ ~p v ~q

~(p v q) ↔ ~p Λ ~q

2.     Tabel Kebenaran

Sebenarnya tabel kebenaran ini sudah saya bahas di atas. Pada bagian ini saya hanya ingin mengulangnya dan menjadikannya menjadi satu agar mudah untuk dibaca dan dipahami.

Logika proposisi tidak bisa menggambarkan sebagian besar proposisi dalam matematika dan ilmu komputer. Sebagai ilustrasi, perhatikan pernyataan berikut:

p : n adalah bilangan ganjil.

Pernyataan p bukan sebuah proposisi karena nilai kebenaran p bergantung pada nilai kebenaran n. Sebagai contoh, p benar jika n=103 dan salah jika n=8. Karena kebanyakan pernyataan dalam matematika dan ilmu komputer menggunakan peubah(variabel), maka kita harus mengembangkan sistem logika yang mencakup pernyataan tersebut.

Contoh Soal dan Pembahasannya

     1.     Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:

            a) Hari ini Jakarta banjir.

            b) Kambing bisa terbang.

            c) Didi anak bodoh

            d) Siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu.

            Pembahasan

            a)        Tidak benar bahwa hari ini Jakarta banjir.
b)         Tidak benar bahwa kambing bisa terbang.
c)         Tidak benar bahwa Didi anak bodoh
d) Tidak benar bahwa siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu.

Atau boleh juga dengan format berikut:
a)         Hari ini Jakarta tidak banjir.
b)         Kambing tidak bisa terbang.
c)         Didi bukan anak bodoh
d) Siswa-siswi SMANSA tidak memakai baju batik pada hari Rabu.

     2.    Tentukan negasi (ingkaran) dari pernyataan-pernyataan berikut.

            a)        p : Semua dokter memakai baju putih saat bekerja.
b)         p : Semua jenis burung bisa terbang
c)         p : Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini.

Pembahasan
Pernyataan yang memuat kata "Semua" atau "Setiap" negasinya memuat kata "Beberapa" atau "Ada" seperti berikut:
a)         ~p : Ada dokter tidak memakai baju putih saat bekerja.
b)         ~p : Beberapa jenis burung tidak bisa terbang
c)         ~p : Beberapa anak tidak mengikuti ujian fisika hari ini.

     3.    Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah....
A.         Semua bilangan prima adalah bilangan genap.
B.         Semua bilangan prima bukan bilangan genap.
C.         Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.
D.         Beberpa bilangan genap bukan bilangan prima.
E.         Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima.

(Soal UN Matematika Tahun 2008 P12)

            Pembahasan

            p          : Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap
~p : Semua bilangan prima bukan bilangan genap